Gray Code bij QPSK
Beschouwen we onderstaand vectordiagram, dan zien we de vier QPSK-symbolen en hun eigenschappen zoals samengevat in onderstaande tabel.
Deze tabel komt overeen met het klassieke vectordiagram van QPSK-modulatie, waarbij de symbolen gelijkmatig over 360° verdeeld zijn met een onderlinge faseafstand van 90°.
In feite liggen de vier punten (in wijzerzin, dus bij toenemende hoek) op de hoeken:
45°, 135°, 225° en 315°.
Voor de uitleg van differentiële QPSK (DQPSK) is het echter vaak duidelijker om te spreken van:
45°, 135°, −135° en −45°, wat wiskundig volledig equivalent is.
Opmerking over volgorde en codering:
Wanneer we de (wiskundige) positieve draaizin (tegenwijzerzin) gebruiken en de symbolen opeenvolgend bekijken, merken we op dat de binaire codes niet numeriek oplopend zijn:
Hierbij vallen enkele belangrijke eigenschappen op:
- De waarden 2 en 3 zijn omgewisseld ten opzichte van de klassieke binaire volgorde
- Symbolen die diametraal tegenover elkaar liggen (180° faseverschil) hebben complementaire binaire codes: 0 ↔ 11 — 01 ↔ 10
- In de opeenvolgende reeks
00 → 01 → 11 → 10 → 00 → …
verandert slechts één bit per overgang
- Deze eigenschap geldt ook voor de overgang van het laatste symbool terug naar het eerste
Deze eigenschappen definiëren exact wat men een Gray code noemt.
In het geval van QPSK spreken we dus van een 2-bit Gray code.
Wanneer QPSK-symbolen op deze manier gecodeerd worden, spreekt men van QPSK met Gray coding — en dit is exact de codering die toegepast wordt in DAB en DAB+.
Waarom past men Gray code toe in QPSK?
Het gebruik van Gray code is geen toeval, maar een bewuste ontwerpkeuze om de foutgevoeligheid van het systeem te minimaliseren.
Kijken we naar het vectordiagram van QPSK, dan zien we dat:
Hieruit volgt dat bij ruis:
- Horizontale en verticale verschuivingen het meest waarschijnlijk zijn
- Diagonale verschuivingen veel minder vaak voorkomen
Door het toepassen van Gray code geldt:
- Een horizontale of verticale fout leidt tot een 1-bit fout
- Een diagonale fout leidt tot een 2-bit fout
Omdat de meest waarschijnlijke fouten slechts één bit beïnvloeden, wordt de kans op 2-bit fouten sterk gereduceerd door het toepassen van de Gray code.
Dit is bijzonder belangrijk omdat voorwaartse foutcorrectie (FEC) veel efficiënter werkt bij enkel bitfouten dan bij meervoudige bitfouten.
Invloed van ruis op het vectordiagram
Bij draadloze transmissie treden zowel:
- Amplitude-fouten op (verandering van de lengte van de vector)
- Fase-fouten (lichte verdraaiing van de vector)
Hierdoor gaan de ontvangen symbolen niet langer exact op de ideale punten liggen, maar vormen ze een wolk rond elk ideaal symbool.
Zolang het ontvangen punt binnen hetzelfde kwadrant blijft, kan de ontvanger het correcte symbool nog steeds detecteren.
Daarom spreekt men van een digitale of discrete modulatie: de exacte positie is minder belangrijk dan het gebied (beslissingsvlak) waarin het punt valt.
Bij toenemende ruis kunnen de vectoren echter:
- Eerst de horizontale of verticale beslissingslijnen overschrijden
- Pas bij veel grotere fouten het middelpunt (diagonale grens) overschrijden
Dankzij de Gray code resulteert een overschrijding van een horizontale of verticale grens slechts in één fout bit. Zelfs bij aanzienlijke ruis blijven de fouten dus beperkt tot 1-bit fouten, wat de robuustheid van het systeem aanzienlijk verhoogt.
Samenvattend
- QPSK gebruikt vier symbolen met een onderlinge faseafstand van 90°
- Gray coding zorgt ervoor dat naburige symbolen slechts één bit verschillen
- De meest waarschijnlijke fouten leiden daardoor tot minimale bitfouten
- Dit verhoogt de betrouwbaarheid en efficiëntie van foutcorrectie
- Daarom is QPSK met Gray code de logische keuze voor DAB/DAB+